(c%5E2%2Bd%5E2)%3D(ac%2Bbd)%5E2%2B(ad-bc)%5E2.jpeg "(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2")
Identitas Aljabar: (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
Identitas aljabar adalah persamaan yang menghubungkan dua atau lebih ekspresi aljabar yang berbeda. Salah satu identitas aljabar yang penting dan berguna adalah identitas (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2.
Bukti Identitas
Untuk membuktikan identitas ini, kita dapat menggunakan perkalian bersusun ( FOIL method) pada kedua sisi persamaan.
(a^2+b^2)(c^2+d^2) =
- Mulai dengan perkalian bersusun pada sisi kiri persamaan:
(a^2+b^2)(c^2+d^2) =
a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2
(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 =
- Sekarang, kita akan menghitung nilai sisi kanan persamaan:
(ac+bd)^2 = a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2
(ad-bc)^2 = a^2d^2 - 2adbc + b^2c^2
- Kemudian, kita akan menjumlahkan kedua ekspresi di atas:
(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 =
a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2adbc + b^2c^2
Perbandingan
Sekarang, kita dapat membandingkan hasil perkalian bersusun pada sisi kiri dan sisi kanan persamaan:
a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 =
a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2adbc + b^2c^2
Kita dapat melihat bahwa kedua sisi persamaan memiliki nilai yang sama, sehingga identitas (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 terbukti.
Aplikasi
Identitas ini memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, seperti aljabar, geometri, dan analisis. Salah satu aplikasinya adalah dalam menghitung nilai dari perkalian dua vektor kompleks.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membuktikan identitas aljabar (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 menggunakan perkalian bersusun. Identitas ini memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang dan dapat membantu dalam menghitung nilai dari perkalian dua vektor kompleks.
